Lineare Funktionen und ihre Bedeutung
Entdeckendes Lernen – Von zwei Punkten zur Geradengleichung
In einer Doppellektion wird angeschaut, wie man Funktionen findet, welche durch mehr als 2 Punkte gehen.
Lernziele
Wir
- rechnen zwischen Punkten und Geraden um.
- analysieren Ansätze für Funktion auf Basis von mehr als zwei Punkten.
Übungsaufgabe 1 Zeichnen Sie folgende Punkte in ein Koordinatensystem:
\(P_1=(1,3) \quad P_2 =(-3,2) \quad P_3=(5,5)\)
$P_4=(0,4) $
- Zeichnen Sie eine Gerade welche \(P_1, P_2\) und \(P_3\) so gut wie möglich annähert.
- Zeichnen Sie eine Gerade welche \(P_4, P_5\) und \(P_6\) so gut wie möglich annähert.
Vergleichen Sie das Vorgehen untereinander.
Theorie: Die lineare Funktion
Eine lineare Funktion hat die Form \(y = mx + b\), wobei:
- \(m\): die Steigung – gibt an, wie stark und in welche Richtung die Gerade geneigt ist.
- \(b\): der \(y\)-Achsenabschnitt – beschreibt, wo die Gerade die \(y\)-Achse schneidet.
Um die Gleichung einer Geraden zu bestimmen, benötigt man mindestens zwei Punkte. Die Steigung berechnet sich aus:
\[ m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \]
Arbeitsblatt 1: Die Geradengleichung aus zwei Punkten
Name: ______________________
Datum: _____________________
Aufgabe 1: Punkte zeichnen und verbinden
- Zeichne die Punkte \(A(2, 3)\) und \(B(5, 7)\) in das Koordinatensystem.
- Verbinde die Punkte mit einer Geraden.
Aufgabe 2: Steigung berechnen
Nutze die Formel \(m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\), um die Steigung zu berechnen:
- Punkt \(A(2, 3)\): \(x_1 = 2\), \(y_1 = 3\)
- Punkt \(B(5, 7)\): \(x_2 = 5\), \(y_2 = 7\)
Berechnung:
\(m = \frac{7 - 3}{5 - 2} = \_\_\_\)
Aufgabe 3: \(y\)-Achsenabschnitt bestimmen
Setze die Koordinaten eines Punktes und die berechnete Steigung in die Geradengleichung \(y = mx + b\) ein, um \(b\) zu finden:
- \(y = \_\_\_\), \(m = \_\_\_\), \(x = \_\_\_\)
Rechnung:
\(b = \_\_\_\)
Schreibe die Gleichung der Geraden:
\(y = \_\_\_x + \_\_\_\)
Arbeitsblatt 2: Datenexperiment – Lineare Zusammenhänge entdecken
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Datum: _____________________
Aufgabe: Daten sammeln und analysieren
- Miss die Abhängigkeit zwischen der Zeit und der zurückgelegten Strecke bei einem Laufexperiment.
- Notiere mindestens fünf Messwerte in einer Tabelle:
| Zeit (s) | Strecke (m) |
|---|---|
Zeichne die Messpunkte in ein Koordinatensystem.
Finde die Geradengleichung, die die Punkte möglichst gut beschreibt.
Überlege: Gibt es Punkte, die nicht auf der Geraden liegen? Warum?
Reflexion und Ausblick
- Wo begegnen euch lineare Zusammenhänge im Alltag?
- Wie könnte ein Computer die “beste Gerade” berechnen?
Vorschau: In der nächsten Lektion lernen wir die Grundlagen der linearen Regression mit Hilfe von Technologie.